Question

【題目】已知三個點A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．
（1）求證： ；
（2）要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標，并求矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．

∴ =（1，1）， =（﹣3，3）．

又∵ =1×（﹣3）+1×3=0，

∴ ．

（2）解：∵ ，若四邊形ABCD為矩形，則 ．

設C點的坐標為（x，y），則有（1，1）=（x+1，y﹣4），

∴

即

∴點C的坐標為（0，5）．

由于 =（﹣2，4）， =（﹣4，2），

∴ =（﹣2）×（﹣4）+4×2=16， =2 ．

設對角線AC與BD的夾角為θ，則cosθ= = ＞0．

故矩形ABCD兩條對角線所夾銳角的余弦值為 ．

【解析】（1）運用平面向量的數量積得出 =1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．（2） ． ，坐標得出點C的坐標為（0，5）．再運用數量積求解得出cosθ= = ＞0．