Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵側面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，
以點A為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，設PA=AB=BC=2AD=2，則P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴ =（0，1，1）， =（0，2，﹣2）， =（2，2，﹣2），
∴ =0， =0，
∴DE⊥PB，DE⊥PC，
∵PB∩PC=P，
∴DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一個法向量 =（0，2，0）．
設平面PCD的一個法向量為 =（x，y，z），則
∵ =（1，0，﹣2）， =（2，2，﹣2），
∴ ，
∴取 =（2，﹣1，1），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ．

【解析】（Ⅰ）以點A為坐標原點，建立坐標系，證明 =0， =0，即可證明DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求出平面PAD的一個法向量、平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．