Question

數列{a_n}的前n項和為s_n，s_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求證數列{a_n+3}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）數列{a_n}中是否存在三項，它們可以構成等差數列．若存在，請給出一組適合條件的項，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得

an+1+3

an+3

=2判斷出數列{a_n+3}是等比數列，
（2）由（1）知數列{a_n+3}是等比數列，利用等比數列的通項公式求得a_n+3進而求得a_n．
（3）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數列，根據等差中項的性質可知2a_p=a_s+a_r，利用（2）中的a_n展開得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，進而根據2^p-s+1，2^r-s為偶數，而1+2^r-s為奇數，判斷出假設不成立．故可知不存在這樣的三項．

解答：證明：（1）：因為S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

an+1+3

an+3

=2，
數列{a_n+3}是等比數列，
解：（2）由（1）知數列{a_n+3}是等比數列
又a₁=S₁=3，a₁+3=6，
∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（3）設存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數列，則2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s為偶數，而1+2^r-s為奇數，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在滿足條件的三項

點評：本題考查了數列的遞推式，等比關系的確定，等比數列通項公式，等差數列的性質，解題的關鍵是由題設中的遞推關系得出數列a_n=3•2ⁿ-3，本題第三小題是難點，