Question

設等比數列{a_n}的公比q≠1，S_n表示數列{a_n}的前n項的和，T_n表示數列{a_n}的前n項的乘積，T_n（k）表示{a_n}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積，即T_n（k）=

Tn

ak

（n，k∈N⁺，k≤n），則數列

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

的前n項的和是

a12

2-q-q-1

（n+nq-

q-qn+1+1-q1-n

1-q

）

（用a₁和q表示）

Answer 1

分析：由題設知

Tn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

=

a1•(1-q1-n)

1-q-1

，S_n=

a1(1-qn)

1-q

，故

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

=

a12(1+q-qn-q1-n)

2-q-q-1

，由此能求出數列

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

的前n項的和．

解答：解：∵等比數列{a_n}的公比q≠1，
S_n表示數列{a_n}的前n項的和，T_n表示數列{a_n}的前n項的乘積，
T_n（k）=

Tn

ak

（n，k∈N⁺，k≤n），
∴

Tn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

=

a1×a2×a3×…×an

a2×a3×…×an+a1×a3×…×an+a1×a2×…×an-1

=

a1n•q n(n-1) 2

a1n-1•q n(n-1) 2 +a1n-1•q (n-2)(n+1) 2 +…+a1n-1•q (n-2)(n-1) 2

=

a1

1+q-1+q-2+…+q1-n

=

a1•(1-q1-n)

1-q-1

，
∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

=

a12(1+q-qn-q1-n)

2-q-q-1

，
數列

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

的前n項的和
S=

a12

2-q-q-1

[（1+q-q-1）+（1+q-q²-q^-1）+（1+q-q³-q^-2）+…+（1+q-qⁿ-q^1-n）]
=

a12

2-q-q-1

[n+nq-

q(1-qn)

1-q

-

q-1(1-q1-n)

1-q-1

]
=

a12

2-q-q-1

（n+nq-

q-qn+1+1-q1-n

1-q

）．
故答案為：

a12

2-q-q-1

（n+nq-

q-qn+1+1-q1-n

1-q

）．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．