Question

給出下列命題：
①若數列{a_n}的前n項和Sn=2n+1，則數列{a_n}為等比數列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=

6

，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設函數f（x）=x|x-a|+b，則函數f（x）為奇函數的充要條件是a²+b²=0；
④設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：本題需逐個判斷：選項①的數列從第2項起成等比數列；選項②三角形無解；選項③，通過奇函數的定義可得結論；選項④，通過三角換元可知，直線為定圓的切線，畫圖可得M中的直線所能圍成的正三角形面積不一定相等．

解答：解：選項①，當n=1時，可得a₁=3，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，顯然n=1時式子不符合，故數列{a_n}不是等比數列；
選項②，∵a=

6

＜bsinA=2

3

，故滿足條件的三角形無解，故錯誤；
選項③，函數f（x）=x|x-a|+b的定義域為R，故函數f（x）為奇函數的充要條件是f（-x）+f（x）=0，
即x|x-a|+b-x|x+a|+b=0，故x（|x-a|-|x+a|）+2b=0，只能a，b同時為0，即a²+b²=0，故正確；
選項④，由直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），可令 

x=cosθ y=2+sinθ

消去θ可得  x²+（y-2）²=1，故 直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，如圖中等邊三角形ABC和 ADE面積不相等，故不正確．
故答案為：③

點評：本題為命題真假的判斷，涉及數列，解三角形，函數的奇偶性以及三角換元，屬中檔題．