Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A（2，0），B（-2，0），P是平面內(nèi)一動點(diǎn)，直線PA、PB斜率之積為-．
（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（，0）作直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為M，求直線MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），依題意，有．由此可知動點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）依題意，可設(shè)直線l的方程為，由方程組消去x，并整理得4（3m²+4）y²+12my-45=0，由此入手可推導(dǎo)出直線MA的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
依題意，有
．（3分）
化簡并整理，得．
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程是．（4分）
（Ⅱ）依題意，直線l過點(diǎn)且斜率不為零，故可設(shè)其方程為
，（5分）
由方程組消去x，并整理得
4（3m²+4）y²+12my-45=0（6分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），M（x，y），則
∴，（7分）
∴
∴，
∴，（9分）
①當(dāng)m=0時，k=0；（10分）
②當(dāng)m≠0時，
∵，∴0．
∴．∴且k≠0．（11分）
綜合①②可知直線MA的斜率k的取值范圍是：-．（12分）
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法和直線方程的知識，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．