Question

正方形ABCD在直角坐標平面內，已知其一條邊AB在直線y=x+4上，C，D在拋物線x=y²上，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析：根據C，D兩點在拋物線上可設出C，D的坐標，根據直線A，B的方程可知AB與y軸成的夾角，進而推斷出角線AC與邊AB也成45⁰角，進而推斷出AC∥y軸，和BD∥x軸，設出A，B的坐標，根據AB∥CD，對角線AC，BD互相垂直平分，聯立方程求得s和t，則正方形ABCD的面積可求得．

解答：解：∵C，D兩點在拋物線上，
∴可設C（s²，s），D（t²，，t），
又∵A，B在直線y=x+4上，∴AB與y軸成45⁰角，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴對角線AC與邊AB也成45⁰角，
∴AC∥y軸，同理BD∥x軸，
∴可設A（s²，s²+4），B（t-4，t）
∵AB∥CD，對角線AC，BD互相垂直平分，所以有

t-s t2-s2 =1 (s2+4)+s 2 =t

解得

s1=-1 t1=2

s2=-2 t2=3

∴面積S₁=|C₁D₁|²=[（-1）²-2²]²+[（-1）-2]²=18，
S₂=|C₂D₂|²=[（-1）²-3²]²+[（-1）-3]²=50．
答：這樣的正方形有兩個，其面積分別為18，50．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生的分析推理和數形結合思想的靈活運用．