Question

(本小題滿分14分)如圖，在六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

（Ⅰ）求證：A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面；
（Ⅱ）求證：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函數值表示）.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析
（Ⅱ）證明見解析
（Ⅲ）二面角的大小為

解法1（向量法）：
以為原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖，

則有．
（Ⅰ）證明：
．
．
與平行，與平行，
于是與共面，與共面．
（Ⅱ）證明：，
，
，．
與是平面內的兩條相交直線．
平面．
又平面過．
平面平面．
（Ⅲ）解：．
設為平面的法向量，
，．
于是，取，則，．
設為平面的法向量，
，．
于是，取，則，．
．
二面角的大小為．
解法2（綜合法）：
（Ⅰ）證明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
設分別為的中點，連結，
有．
，
于是．
由，得，
故，與共面．
過點作平面于點，

則，連結，
于是，，．
，．
，．
所以點在上，故與共面．
（Ⅱ）證明：平面，，
又（正方形的對角線互相垂直），
與是平面內的兩條相交直線，
平面．
又平面過，平面平面．
（Ⅲ）解：直線是直線在平面上的射影，，
根據三垂線定理，有．
過點在平面內作于，連結，
則平面，
于是，
所以，是二面角的一個平面角．
根據勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小為．