Question

（本小題滿分12分）
如圖3，已知直二面角，，，，，，直線和平面所成的角為．
（I）證明；
（II）求二面角的大小．

Answer 1

（I）
（II）二面角的大小為

解：（I）在平面內過點作于點，連結．
因為，，所以，
又因為，所以．
而，所以，，從而，又，
所以平面．因為平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．
過點作于點，連結，由三垂線定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，則，
不妨設，則，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小為．
解法二：由（I）知，，，，故可以為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）．
因為，所以是和平面所成的角，則．
不妨設，則，．
在中，，
所以．
則相關各點的坐標分別是
，，，．
所以，．
設是平面的一個法向量，由得
取，得．
易知是平面的一個法向量．
設二面角的平面角為，由圖可知，．
所以．
故二面角的大小為．