Question

【題目】已知函數.

（1）求函數在處的切線方程；

（2）若不等式對任意的都成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)先利用導數求切線的斜率,再求切線方程;

(2) 根據題意可得對任意的，都成立，

當時,顯然成立;當時,設， 問題即轉化為恒成立,只需要即可,因為 (當且僅當時取等號)，即滿足即有對恒成立,構造,通過求導判斷函數的單調性求最小值,即可求得的取值范圍.

（1）設，則，

當時，，，

∴函數在處的切線方程為，即.

（2）根據題意可得對任意的，都成立，

當時，不等式即為，顯然成立；

當時，設，則不等式恒成立，

即為不等式恒成立，

∵ (當且僅當時取等號)，

∴由題意可得，即有對恒成立，

令，則，

令，即有，

令，則，

當時，，在上單調遞增，

又，有且僅有一個根，

當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

∴當時，取得最小值，為，∴．

∴實數的取值范圍