Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，為正三角形.若，且與底面所成角的正切值為.

（1）證明：平面平面；

（2）是線段上一點(diǎn)，記，是否存在實(shí)數(shù)，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，

【解析】

（1）由勾股定理與正三角形的性質(zhì)可證，再由已知證得，由線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理即可證得平面平面；

（2）作BC延長線于點(diǎn)Q，且BQ=AD，由（1）可知，QD,QP,QB兩兩垂直，以它們所在直線分別做x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知即可表示點(diǎn)Q，A，C，D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面PAE與面ACE的法向量，利用向量的數(shù)量積求夾角與已知構(gòu)建方程，求得的值.

（1）因?yàn)?/span>，，所以

又因?yàn)?/span>為正三角形，所以

又,則，即

又因?yàn)?/span>，，所以 且

所以平面，又因?yàn)?/span>平面

故平面平面

（2）作BC延長線于點(diǎn)Q，且BQ=AD，由（1）可知，QD,QP,QB兩兩垂直，以它們所在直線分別做x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則Q(0,0,0),A(2,2,0),C(0,1,0),D(2,0,0)

由,可得，所以

設(shè)平面PAE的法向量為

則，即，令，解得

所以，顯然是平面ACE的法向量

設(shè)二面角為

則

依據(jù)題意有，解得