Question

解答題 已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y＝x對稱． (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若Q是雙曲線C上的任一點，F1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程． (3) 設直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經過M(－2，0)及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：設雙曲線C的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0 ∵該直線與圓相切， ∴雙曲線C的兩條漸近線方程為……………………………………………2分 故設雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個焦點為 ∴，∴雙曲線C的方程為……………………………4分
(2)	解：若Q在雙曲線的右支上，則延長QF2到T，使|QT|＝|OF1| 若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點T，使|QT|＝|QF1| 根據雙曲線的定義|TF2|＝2，所以點T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是①………………………………………6分 由于點N是線段F1T的中點，設N(x，y)，T() 則 代入①并整理得點N的軌跡方程為…………………8分
(3)	解：由 令 直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程上有兩個不等實根． 因此……………………………………………10分 又AB中點為 ∴直線L的方程為……………………………………12分 令x＝0，得 ∵∴ ∴故b的取值范圍是………………………14分