Question

已知集合M是滿足下列性質的所有函數f（x）組成的集合：對于函數f（x），定義域內的任意兩個不同自變量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判斷函數f（x）=3x+1是否屬于集合M？說明理由；
（2）若g(x)=a(x+

1

x

)在（1，+∞）上屬于M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）判斷f（x）是否屬于集合M，就看其是否滿足條件，通過具體的反例可以直接判斷出來．
（2）g（x）屬于M則滿足不等式條件，通過解恒成立的不等式，進而求得a的范圍．

解答：解：（1）f（x）=3x-1∉M，可舉反例說明：
若x₁=1，x₂=2，則f（x₁）=4，f（x₂）=7，|f（x₁）-f（x₂）|=3≤1=|x₁-x₂|不成立．
（2）對任意兩個自變量x₁，x₂∈（1，+∞），g(x)=a(x-

1

x

)
因為|g（x₁）-g（x₂）|=|a(x1-

1

x1

)-a(x2-

1

x2

)|=|a|•|(x1-x2)+(

x2-x1

x1x2

)|
=|a|•|x1-x2|•|1-

1

x1x2

| ≤|x1-x2|恒成立．
?|a|•|1-

1

x1x2

|≤1?|a|≤|

1

|1- 1 x1x2 |

|
又x₁＞1，x₂＞1?x₁x₂＞1?|1-

1

x1x2

| ∈（0，1）?|

1

|1- 1 x1x2 |

| ∈（1，+∞）
即|a|≤1
故a的取值范圍是：[-1，1]

點評：考查反例在證明問題中的重要作用，同時考查不等式恒成立問題的解法．