Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數f（x）=log₂x屬于集合M，并找出一個常數k；
（3）已知函數f（x）=log_ax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=log_ax∈M．

Answer 1

分析：（1）假設g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=

k

2

+g（x）得出a（k-1）x=

k

2

恒成立，與假設矛盾，從而得出結論；
（2）由于當log₂（kx）=

k

2

+log₂x成立時，等價于log₂k=

k

2

，此式顯然當k=4時此式成立，可見，存在非零常數k=4，使g（kx）=

k

2

+g（x），從而得出答案．
（3）因為y=log_ax（ a＞1）與y=x有交點，由圖象知，y=log_ax與y=

x

2

必有交點．從而存在k，f（kx）=log_a（kx）=log_ak+log_ax=

k

2

+f（x），成立．

解答：解：（1）若f（x）=ax+b∈M，則存在非零常數k，對任意x∈D均有f（kx）=akx+b=

k

2

+f（x），
即a（k-1）x=

k

2

恒成立，得

k-1=0 k=0

無解，所以f（x）∉M．
（2）log₂（kx）=

k

2

+log₂x，則log₂k=

k

2

，k=4，k=2時等式恒成立，
所以f（x）=log₂x∈M．
（3）因為y=log_ax（ a＞1）與y=x有交點，由圖象知，y=log_ax與y=

x

2

必有交點．
設log_ak=

k

2

，則f（kx）=log_a（kx）=log_ak+log_ax=

k

2

+f（x），
所以f（x）∈M．

點評：本小題主要考查元素與集合關系的判斷、對數的運算法則、對數函數的性質、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．