Question

【題目】已知橢圓為參數）, 是上的動點，且滿足為坐標原點)，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立坐標系，點的極坐標為.

（1）求線段的中點的軌跡的普通方程；

（2）利用橢圓的極坐標方程證明為定值，并求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值.

【解析】試題分析：（1）將的極坐標轉化為平面直角坐標，由橢圓的參數方程，可設點的坐標，利用中點坐標得出點坐標，消去參數可得軌跡的普通方程；（2）將橢圓的普通方程化為極坐標方程，可設兩點的極坐標，由題中所給，可得結論．

試題解析：（1）點的直角坐標為，由題意可設點的坐標為參數，

則線段的中點的坐標為，

所以點的軌跡的參數方程為為參數）

消去可得的普通方程為.

（2）橢圓的普通方程為，化為極坐標方程得，

變形得，

由，不妨設，所以

（定值），

易知當時， 取得最大值.