Question

【題目】已知函數，．

Ⅰ記在上的最大值為M，最小值為m．

若，求a的取值范圍；

證明：；

Ⅱ若在上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，見解析（Ⅱ）

【解析】

Ⅰ討論對稱軸與區間的關系，可得最大值，即可得到a的范圍；

討論對稱軸與區間的關系，求得最值，作差，求得最小值，即可得證；

Ⅱ代入，2的值得到關于a的不等式組，解出即可．

Ⅰ函數，其對稱軸為，且開口向上，

，，

，

當時，即時，，

當時，即時，，

，

的取值范圍為；

證明：當時，即時，在上單調遞減，

，，

，

當時，即時，在上單調遞增，

，，

，

當時，，，

，在上為減函數，

，

；

當時，，，

，在上為增函數，

，

綜上所述；

Ⅱ在上恒成立，

，即，

故，

解得，

同理，，解得：，

故，

當時，設，此時，

，在遞增，

故，

此時，

故在遞減，

故在上恒成立，

只需，

故．