Question

函數f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數，a＞0）．
（1）若函數f（x）在區間[1，+∞）內單調遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數，a＞0），知f′（x）=

ax-1

ax2

　（x＞0）．由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出a的取值范圍．
（2）當a≥1時，由f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上為增函數，f（x）_min=f（1）=0，當0＜a≤

1

2

時，f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數，f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．當

1

2

＜a＜1時，x∈[1，

1

a

）時，f′（x）＜0；x∈（

1

a

，2]時，f′（x）＞0，f（x）_min=-lna+1-

1

a

．由此能求出函數f（x）在區間[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數，a＞0）．
∴f′（x）=

ax-1

ax2

　（x＞0）．
由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵當x∈[1，+∞）時，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）當a≥1時，∵f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上為增函數，
∴f（x）_min=f（1）=0，
當0＜a≤

1

2

時，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．
當

1

2

＜a＜1時，∵x∈[1，

1

a

）時，f′（x）＜0；
x∈（

1

a

，2]時，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=-lna+1-

1

a

．
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為 ①當0＜a≤

1

2

時，f（x）_min=ln2-

1

2a

；②當

1

2

＜a＜1時，f（x）_min=-lna+1-

1

a

．③當a≥1時，f（x）_min=0．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．