Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

；
（Ⅰ）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調性；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意：f（x）的定義域為（0，+∞），對函數求導，分別解f（x）′＞0（＜0），從而求函數的增（減）區間，
（II）令f′（x）=0?x=-a，分①-a≤1②1＜-a＜e③-a≥e三種情況討論函數在已知區間上的單調性，確定函數的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意：f（x）的定義域為（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．（4分）
（Ⅱ）由（1）可知：f′(x)=

x+a

x2

①若a≥-1，則x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數，f（x）_min=f（1）=-a（6分）
②若a≤-e，則x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數，f(x)min=f(e)=1-

a

e

（8分）
③若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，
當1＜x＜-a時，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上為減函數，
當-a＜x＜e時，f'（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上為增函數，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1（11分）
綜上可知：當a≥-1時，f（x）_min=-a；
當a≤-e時，f(x)min=1-

a

e

；
當-e＜a＜-1時，f（x）_min=ln（-a）+1（12分）

點評：（1）函數的單調增（減）區間的求解是令f′（x）＞0（＜0）
（2）求解函數在求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b）比較而得到的．但是含有參數時，要注意對參數的討論，以確定函數在區間上的單調性及取得最值的位置．