Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，直線l的方程為y=kx-2．
（1）若直線l被圓C所截得弦長為2，求直線l的方程；
（2）若直線l上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，求k的最大值．

Answer 1

（1）設直線l被圓C所截得弦長為L，
圓C的方程可化為（x-4）²+y²=1，圓心為C（4，0），半徑為r=1，
設圓心C到直線l的距離為d，則d=

|4k-2|

k2+1

，
由垂徑定理可知，直線l被圓C所截得的弦長為L=2

r2-d2

，
故由題意，可得2

12-( |4k-2| k2+1 )2

=2，
化簡得，k=

1

2

，
則直線l的方程為y=

1

2

x-2；
（2）∵圓C的方程可化為：（x-4）²+y²=1，
∴圓C的圓心為（4，0），半徑為1．
∵由題意，直線y=kx-2上至少存在一點A（x₀，kx₀-2），以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點；
∴存在x₀∈R，使得AC≤1+1成立，即AC_min≤2，
∵AC_min即為點C到直線y=kx-2的距離

|4k-2|

k2+1

，
∴

|4k-2|

k2+1

≤2，
解得：0≤k≤

4

3

，
∴k的最大值是

4

3

．