Question

設圓（x-2）²+（y-2）²=4的切線l與兩坐標軸交于點A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（1）證明：（a-4）（b-4）=8；
（2）若a＞4，b＞4，求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

（1）證明：直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
則圓心（2，2）到切線l的距離d=r，即

|2b+2a-ab|

b2+a2

=2，
整理得：ab-4（a+b）+8=0，
則（a-4）（b-4）=8；
（2）由（a-4）（b-4）=8，得到ab=4（a+b）-8，
又a＞4，b＞4，
∴S_△AOB=

1

2

ab=2[（a-4）+（b-4）+6]≥2（2

(a-4)(b-4)

+6）=4（3+2

2

），（當且僅當a=b=4+2

2

時取等號），
則△AOB面積的最小值是12+8

2

．