Question

【題目】曲線的參數方程為（為參數），是曲線上的動點，且是線段的中點，點的軌跡為曲線，直線的極坐標方程為，直線與曲線交于兩點.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）寫出過點的直線的參數方程，并求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（為參數）；

【解析】

（1）設，則，由點在曲線上可將M點的坐標代入曲線參數方程中得點P的軌跡方程，再將參數方程轉化為普通方程即可；利用兩角和的正弦公式及可將直線l的極坐標方程化為普通方程；

（2）利用點M的坐標求出直線的參數方程，與曲線的普通方程聯立得關于t的一元二次方程，根據t的幾何意義可得結果.

（1）設，由條件知，因為點在曲線上，

所以，即，

所以曲線的普通方程.

直線的方程為，由知直線l的直角坐標方程為.

（2）點在直線上，則直線的參數方程為（為參數），

代入曲線的普通方程得：

，

所以.