Question

已知橢圓C 1：

x2

a2

+

y2

b2

=λ1（a＞b＞0，λ₁＞0）和雙曲線C 2：

x2

m2

-

y2

n2

=λ2(λ2≠0)，給出下列命題：
①對于任意的正實數λ₁，曲線C₁都有相同的焦點；
②對于任意的正實數λ₁，曲線C₁都有相同的離心率；
③對于任意的非零實數λ₂，曲線C₂都有相同的漸近線；
④對于任意的非零實數λ₂，曲線C₂都有相同的離心率．
其中正確的為（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：通過橢圓與雙曲線的方程求出它們的焦點，離心率，漸近線即可得到結論．

解答：解：對于任意的正實數λ₁，橢圓C 1：

x2

a2

+

y2

b2

=λ1（a＞b＞0，λ₁＞0）
可知，c²=λ1a2-λ1b2，離心率的平方e²=

c2

λ1a2

=

a2-b2

a2

，
故對于任意的正實數λ₁，曲線C₁不都有相同的焦點；曲線C₁都有相同的離心率．
對于任意的非零實數λ₂，雙曲線C 2：

x2

m2

-

y2

n2

=λ2(λ2≠0)，
可知曲線C₂都有相同的漸近線

x

m

=±

y

n

；
但是當λ₂＞0時，離心率的平方e²=

c2

λ2m2

=

m2+n2

m2

，
當λ₂＜0時，離心率的平方e²=

c2

λ2n2

=

m2+n2

n2

，
∴對于任意的非零實數λ₂，曲線C₂都有相同的漸近線；曲線C₂不都有相同的離心率．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．屬于基礎題．