Question

(本小題滿分12分)

如圖，在□ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD="4." 將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求證：AB⊥DE；

(2)求三棱錐E—ABD的側面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）先求出BD，利用勾股定理知AB⊥BD，再由面面垂直的性質知AB⊥平面EBD，從而得證（2）S=8+2

【解析】

試題分析：(1)在△ABD 中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，

∴BD=.

∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD.

又∵平面EBD⊥平面ABD，

平面EBD∩平面ABD=BD，AB平面ABD，

∴AB⊥平面EBD. 又∵DE平面EBC，∴AB⊥DE.                                ……5分

(2)由(1)知AB⊥BD.

∵CD∥AB    ∴CD⊥BD，從而DE⊥BD

在Rt△DBE中, ∵DB=2，DE=DC=AB=2，

∴S_△DBE=.……7分

又∵AB⊥平面EBD，BE平面EBD，∴AB⊥BE.

∵BE=BC=AD=4，S_△ABE=AB·BE=4……9分

∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，

而AD平面ABD，∴ED⊥AD，∴S_△ADE=AD·DE="4."                            ……11分

綜上，三棱錐E—ABD的側面積S=8+2.                                  ……12分

考點：本小題主要考查空間中直線、平面間的位置關系的判斷和證明以及側面積的計算，考查學生的空間想象能力和推理論證能力以及運算求解能力.

點評：要證明空間中直線、平面間的位置關系要緊扣判定定理和性質定理，定理中要求的條件缺一不可.