Question

【題目】如圖，△ABC的內切圓分別與邊BC、CA、AB切于點D、E、F，AD與BE交于點P，設點P關于直線EF、FD、DE的對稱點分別X、Y、Z.證明：AX、BY、CZ三線共點.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設直線AX與EF的交點為M，直線BY與FD的交點為N，直線CZ與DE的交點為L，直線PA與EF的交點為R，直線PB與FD的交點為S，直線PC與DE的交點為T.

由直線束EA、EF、EB、ED為調和線束，知A、R、P、D成調和點列，且EF為∠AXP的平分線.故DM⊥EF.

類似地，EN⊥FD，F(xiàn)L⊥DE.

因此，DM、EN、FL三線共點于△DEF的垂心.

于是，.

又由正弦定理知.

類似地，.

則.

由角元塞瓦定理的逆定理得AX、BY、CZ三線共點.