Question

【題目】已知函數．

（1）設．

①若，求函數的零點；

②若函數存在零點，求的取值范圍．

（2）設，若對任意恒成立，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）.

【解析】

分析：（1）①將代入解析式，分類討論解方程即可得結果；②討論的符號，同一坐標系中作出兩個函數的圖象，利用數形結合可得結果；（2）對任意恒成立，等價于的最大值與最小值的差不大于，分三種情況討論函數的單調性，分別求出最大值與最小值，綜合三種情況可得結果.

詳解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，

①若a=，則由F（x）=x﹣|x|﹣=0得： |x|=x﹣，

當x≥0時，解得：x=1；

當x＜0時，解得：x=（舍去）；

綜上可知，a=時，函數y=F（x）的零點為1；

②若函數y=F（x）存在零點，則x﹣a=a|x|，

當a＞0時，作圖如下：

由圖可知，當0＜a＜1時，折線y=a|x|與直線y=x﹣a有交點，即函數y=F（x）存在零點；

同理可得，當﹣1＜a＜0時，求數y=F（x）存在零點；

又當a=0時，y=x與y=0有交點（0，0），函數y=F（x）存在零點；

綜上所述，a的取值范圍為（﹣1，1）．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，

∴當﹣2≤x＜0時，h（x）=（1﹣a）x﹣a；

當0≤x≤2時，h（x）=（1+a）x﹣a；

又對任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，

則h（x1）max﹣h（x2）min≤6，

①當a≤﹣1時，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在區間[﹣2，0）上單調遞增；

h（x）=（1+a）x﹣a在區間[0，2]上單調遞減（當a=﹣1時，h（x）=﹣a）；

∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，

∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，

綜上，﹣2≤a≤﹣1；

②當﹣1＜a＜1時，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在區間[﹣2，0）上單調遞增，

且h（x）=（1+a）x﹣a在區間[0，2]上也單調遞增，

∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1適合題意；

③當a≥1時，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在區間[﹣2，0）上單調遞減

（當a=1時，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在區間[0，2]上單調遞增；

∴h（x）min=h（0）=﹣a；

又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），

∴h（x）max=h（2）=2+a，

∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，

∴1≤a≤2；

綜上所述，﹣2≤a≤2．