Question

【題目】已知圓，圓心為點，點是圓內一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點在圓上運動.

（l）求動點的軌跡的方程;

（2）若為曲線上任意一點，|的最大值;

（3）經過點且斜率為的直線交曲線于兩點在軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點坐標：若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)3；(3) 存在,點

【解析】

（1）連接，根據中垂線性質可知，可得，滿足橢圓定義；（2）根據（1）可知，點，是橢圓的焦點，所以，利用基本不等式求的最大值；（3）假設存在點，設，直線方程為，與橢圓方程聯立，得，利用韋達定理得到，由

代入坐標表示，求.

解：（1）連接，是線段的垂直平分線：

點到兩定點距離之和為定值，

點的軌跡是以兩點為焦點，長軸長為的橢圓，

動點的軌跡的方程為

（2）為曲線上任意一點，

，當且僅當時，等號成立

（3）假設存在點，設，直線方程為，代入橢圓方程，得

由

由于對任意恒成立，因此

恒成立

即恒成立

恒成立，因此

綜上所述，存在點滿足題意