Question

【題目】如圖，射線和均為筆直的公路，扇形區域（含邊界）是規劃的生態文旅園區，其中、分別在射線和上.經測量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為千米.根據發展規劃，要在扇形區域外修建一條公路，分別與射線、交于、兩點，并要求與扇形弧相切于點（不與重合）.設（單位：弧度），假設所有公路的寬度均忽略不計.

（1）試將公路的長度表示為的函數；

（2）已知公路每千米的造價為萬元，問建造這樣一條公路，至少要投入多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）其中.（2）萬元.

【解析】

（1）根據與扇形弧相切于點，可得，在中，由，根據三角函數的定義得，同理在中，，從而得到.

（2）由（1）知，若造價最小，則MN最小，而MN變形轉化為，只要求得最大值即可.

（1）因為與扇形弧相切于點，所以.在中，因為，

所以，在中，，所以，

所以，其中.

（2）

因為，所以，∴時，取最小值，

∴建造這樣一條公路，至少要投入萬元.