Question

（2005•朝陽區一模）圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）的普通方程為

（x-1）²+y²=1

，設O為坐標原點，點M（x₀，y₀）在C上運動，點P（x，y）是線段OM的中點，則點P的軌跡方程為

（2x-1）²+4y²=1

．

Answer 1

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1，消去參數θ得它的普通方程；
（2）利用中點坐標公式得點P與點M坐標之間的關系，再結合點M（x₀，y₀）在C上運動知其坐標適合曲線C的參數方程，最終消去參數即可得到點P軌跡的普通方程．

解答：解：圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）利用sin²θ+cos²θ=1，
消去參數θ得它的普通方程為（x-1）²+y²=1；
∵點P（x，y）是線段OM的中點，
∴x₀=2x，y₀=2y，
又點M（x₀，y₀）在C上，
∴x₀=1+cosθ，y₀=sinθ，
∴2x=1+cosθ，2y=sinθ，
消去參數θ得
（2x-1）²+4y²=1
故答案為：（x-1）²+y²=1；（2x-1）²+4y²=1．

點評：本題考查點的參數方程和直角坐標的互化及參數法求點的軌跡方程的方法，屬于基礎題之列．