Question

【題目】已知向量 =（sinx，1）， =（ Acosx， cos2x）（A＞0），函數f（x）= 的最大值為6．
（1）求A；
（2）將函數y=f（x）的圖象像左平移 個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．求g（x）在[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=

=

=A（ ）

=Asin（2x+ ）．

因為A＞0，由題意可知A=6．

（2）解：由（1）f（x）=6sin（2x+ ）．

將函數y=f（x）的圖象向左平移 個單位后得到，

y=6sin[2（x+ ）+ ]=6sin（2x+ ）．的圖象．再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍，

縱坐標不變，得到函數y=6sin（4x+ ）的圖象．因此g（x）=6sin（4x+ ）．

因為x∈[0， ]，所以4x+ ，4x+ = 時取得最大值6，4x+ = 時函數取得最小值﹣3．

故g（x）在[0， ]上的值域為[﹣3，6]．

【解析】（1）利用向量的數量積展開，通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數化為，一個角的一個三角函數的形式，通過最大值求A；（2）通過將函數y=f（x）的圖象像左平移 個單位，再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的 倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．求出g（x）的表達式，通過x∈[0， ]求出函數的值域．
【考點精析】關于本題考查的函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和三角函數的最值，需要了解圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能得出正確答案．