Question

【題目】將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中， ， ，

，現將三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如圖乙．

（1）求證： ；

（2）求證： 為線段中點；

（3）求二面角的大小的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（2）由AD在平面ABC上的射影與BC垂直，即可證明；
（2）通過計算，求得AD=BD，再由等腰三角形高線即中線的性質證得；
（3）利用射影定理作出二面角D-AC-B的平面角，再由正弦定義求得．

試題解析：

(1)證明：由已知D在平面ABC上的射影

O恰好在AB上, ∴DO⊥平面ABC，

∴AO是AD在平面ABC上的射影．

又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD．

(2)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC

又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC

又∵BD平面ADB，∴AD⊥BD，

在RT⊿ABD中，由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD,

∴O是AB的中點.

(3)解：過D作DE⊥AC于E，連結OE，

∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC

∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角，

且

即二面角D－AC－B的正弦值為．