Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}為等差數列，且S₈=56．
①求該等差數列的公差d；
②設數列{b_n}滿足b_n=3ⁿ•a_n，則當n為何值時，b_n最大？請說明理由；
（2）若{a_n}還同時滿足：①{a_n}為等比數列；②a₂a₄=16；③對任意的正整數k，存在自然數m，使得S_k+2、S_k、S_m依次成等差數列，試求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）①{a_n}為等差數列，且a₁+a₅=17，S₈=56，建立方程組，即可求得該等差數列的公差d；
②確定數列{b_n}的通項，判斷其單調性，即可求得b_n最大值；
（2）先根據：①{a_n}為等比數列；②a₂a₄=16，確定{a_n}的通項，再利用S_k+2、S_k、S_m依次成等差數列，即可求數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）①由題意，得

2a1+4d=17 8a1+28d=56

，解得d=-1…（4分）
②由①知a1=

21

2

，所以an=

23

2

-n，則b_n=3ⁿ•a_n=3ⁿ•（

23

2

-n），…（6分）
因為b_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）…（8分）
所以b₁₁=b₁₀，且當n≤10時，數列{b_n}單調遞增，當n≥11時，數列{b_n}單調遞減，
故當n=10或n=11時，b_n最大…（10分）
（2）因為{a_n}是等比數列，則a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以

a1=1 a5=16

或

a1=16 a5=1

…（12分）
從而an=2n-1或an=(-2)n-1或an=16×(

1

2

)n-1或an=16×(-

1

2

)n-1．
又因為S_k+2、S_k、S_m依次成等差數列，得2S_k=S_k+2+S_m，而公比q≠1，
所以2×

a1(1-qk)

1-q

=

a1(1-qk+2)

1-q

+

a1(1-qm)

1-q

，即2=q²+q^m-k  （*）…（14分）
當an=2n-1時，（*）式不成立；當an=(-2)n-1時，解得m=k+1；
當an=16×(

1

2

)n-1時，（*）式不成立；當an=16×(-

1

2

)n-1時，（*）式不成立．
綜上所述，滿足條件的是an=(-2)n-1…（16分）

點評：本題考查等差數列的通項，考查數列的單調性，考查學生的計算能力，確定數列的通項是關鍵．