Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值及通項公式a_n．
（2）求S_n．

Answer 1

分析：（1）由S₂=kS₁+2及a₁=2，a₂=1代入可求k的值，進而利用遞推公式a_n+1=S_n+1-S_n可求
（2）由（1）中所求的a_n，結合等比數列的求和公式可求S_n

解答：解：（1）∵S₂=kS₁+2
∴a₁+a₂=ka₁+2∵a₁=2，a₂=1
∴3=2k+2
∴k=

1

2

（2）由（1）得Sn+1=

1

2

Sn+2
當n≥2時，Sn=

1

2

Sn-1+2
兩式相減可得，an+1=

1

2

an
∴數列{a_n}是以

1

2

為公比的等比數列
∴an=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

∴S n= 2[1-( 1 2 )n] 1- 1 2 =4(1- 1 2n )(12分)

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式a_n+1=S_n+1-S_n求解數列的通項公式，還考查了等比數列的通項公式及求和公式的應用．