Question

如果項數均為的兩個數列滿足且集合，則稱數列是一對“項相關數列”.
(Ⅰ)設是一對“4項相關數列”，求和的值，并寫出一對“項相
關數列”；
(Ⅱ)是否存在“項相關數列”？若存在，試寫出一對；若不存在，請說明理由；
(Ⅲ)對于確定的，若存在“項相關數列”，試證明符合條件的“項相關數列”有偶數對．

Answer 1

(Ⅰ)；；：8，4，6，5；：7，2，3，1；(Ⅱ)不存在，理由見解析；(Ⅲ)證明見解析.

試題分析：(Ⅰ)依題意有，，以及，求得以及的值，寫出符合條件的數列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假設存在，利用反證法證明得出矛盾，即可證明滿足已知條件的“10項相關數列”不存在.依題意有，以及成立，解出與已知矛盾，即證；(Ⅲ)對于確定的，任取一對“項相關數列”，構造新數對，
，則可證明新數對也是“項相關數列”，但是數列與是不同的數列，可知“項相關數列”都是成對對應出現的，即符合條件的 “項相關數列”有偶數對.
試題解析：(Ⅰ)依題意，，相加得，
，又，
則，.
“4項相關數列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）3分
(Ⅱ)不存在．
理由如下：假設存在 “15項相關數列”，
則，相加，得

又由已知，由此
，顯然不可能，所以假設不成立。
從而不存在 “15項相關數列”               7分
(Ⅲ)對于確定的，任取一對 “項相關數列”，
令，，
先證也必為 “項相關數列” ．
因為
又因為，很顯然有：
所以也必為 “項相關數列”．
再證數列與是不同的數列．
假設與相同，則的第二項，又，則，即，顯然矛盾．
從而，符合條件的“項相關數列”有偶數對．            13分項和公式；2.反證法及其應用