Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）在各項均不為零的數列{c_n}中，若c_i•c_i+1＜0，則稱c_i，c_i+1為這個數列{c_n}一對變號項．令cn=1-

a

an

（n為正整數），求數列{c_n}的變號項的對數．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素可得△=a²-4a=0，所以a=0或a=4，又在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，所以a=4．
（2）由當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2n-5，但是必須檢驗當n=1時，a₁=S₁=1也符合上式，∴a_n=

1，n=1 2n-5，n≥2

．
（3）方法一是通過數列{c_n}的單調性解答即c_n+1-c_n=

8

(2n-5)(2n-3)

的單調性．
方法二解不等式

2i-9

2i-5

2i-7

2i-3

＜0找出數列{c_n}的變號項的對數．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a²-4a=0得a=0或a=4，
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上：a=4，f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）可知：S_n=n²-4n+4．當n=1時，a₁=S₁=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5，
∴a_n=

1，n=1 2n-5，n≥2

（3）法一：由題設c_n=

-3n=1 1- 4 2n-5 n≥2

，
∵當n≥2時，c_n+1-c_n=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

，
∴當n≥3時，數列{c_n}遞增，∵c₃=-3＜0，又由c_n=1-

4

2n-5

≥0，得n≥5，
可知c₄•c₅＜0，即n≥3時，有且只有一對變號項，
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，∴此處有2對變號項．
綜上可得：數列{c_n}的變號項有3對．
法二：當i≥2時，c_i=1-

4

2i-5

=

2i-9

2i-5

，
∵c_i•c_i+1＜0，∴

2i-9

2i-5

•

2i-7

2i-3

＜0，
∴

3

2

＜i＜

5

2

或

7

2

＜i＜

9

2

，∵i≥2，i∈N^*，∴i=2或4，
即c₂•c₃＜0，c₄•c₅＜0，此處有2對變號項，
又∵c₁=-3，c₂=5，即c₁•c₂＜0，此處有一對變號項，
綜上可得：數列{c_n}的共有3對變號項．

點評：.本題考查數列的性質與函數的性質相結合的知識點，一般是單調性，最值等性質的結合，數列與函數相結合問題是高考考查的重點內容．