Question

已知拋物線C：y=-x²+2x，在點A（0，0），B（2，0）分別作拋物線的切線L₁、L₂．
（1）求切線L₁和L₂的方程；
（2）求拋物線C與切線L₁和L₂所圍成的面積S．

Answer 1

分析：（1）欲求切線L₁和L₂的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合A（0，0），B（2，0）都在拋物線上，即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先通過解方程組得直線與拋物線的交點的坐標(biāo)和L₁和L₂與x軸交點的坐標(biāo)，最后根據(jù)定積分在求面積中的應(yīng)用公式即可求得所圍成的面積S即可．

解答：解：（1）y=-2x+2，A（0，0），B（2，0）都在拋物線上，
則K₁=2，K₂=-2，切線L₁方程：y=2x，
切線L₂方程：y=-2x+4
（2）由

y=2x y=-2x+4

?

x=1 y=2

P（1，2）--（7分）
S=

∫

1 0

[2x-(-x2+2x)]dx+

∫

2 1

[(-2x+4)-(-x2+2x)]dx
=

∫

1 0

x2dx+

∫

2 1

(x2-4x+4)dx
=(

1

3

x3)

|

1 0

+(

1

3

x3-2x2+4x)

|

2 1

=

1

3

+(

8

3

-

1

3

-2)=

2

3

答：拋物線C與切線L₁和L₂所圍成的面積為

2

3

．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、定積分在求面積中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．