Question

已知拋物線C：y=2x²與直線y=kx+2交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線，垂足為N，若

NA

•

NB

=0，則k=

±4

3

．

Answer 1

分析：把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0由韋達定理得x₁+x₂=

k

2

，x₁•x₂=-1，求出M（

k

4

，

k2

4

+2），進一步得到N點的坐標為（

k

4

，0）．表示出

NA

，

NB

，利用向量的數量積根式求出

NA

•

NB

，根據已知列出方程求出k的值．

解答：解：設A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0
由韋達定理得x₁+x₂=

k

2

，x₁•x₂=-1，
所以M（

k

4

，

k2

4

+2），
所以N點的坐標為（

k

4

，0）．

NA

=(x1 -

k

4

，2x12 )，

NB

=(x2 -

k

4

，2x22 )，
所以

NA

•

NB

=(x1 -

k

4

) •(x2 -

k

4

)+4(x1x2 )2
=x1x2-

k

4

(x1+x2)+

k2

16

+4   (x1x2 )2
=-1-

k2

8

+

k2

16

+4
=3-

k2

16

因為

NA

•

NB

=0，
所以3-

k2

16

=0
所以k=±4

3

故答案為：±4

3

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，解決的思路一般是將直線與圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理；考查了學生綜合把握所學知識和基本的運算能力．