Question

如圖1，已知拋物線C：y=3x²（x≥0）與直線x=a．直線x=b（其中0≤a≤b）及x軸圍成的曲邊梯形（陰影部分）的面積可以由公式S=b³-a³來計算，則如圖2，過拋物線C：y=3x²（x≥0）上一點A（點A在y軸和直線x=2之間）的切線為l，S₁是拋物線y=3x²與切線l及直線y=0所圍成圖形的面積，S₂是拋物線y=3x²與切線l及直線x=2所圍成圖形的面積，求面積s₁+s₂的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)切點A的坐標(biāo)為（a，3a²），切線l的方程為y-3a²=6a（x-a），令y=0得x=

a

2

，令x=2得y=12a-3a²，所以S1+S2=23-03-

1

2

(2-

a

2

)(12a-3a2)=-

3

4

a3+6a2-12a+8，記f(a)=-

3

4

a3+6a2-12a+8，轉(zhuǎn)化為求f(a)=-

3

4

a3+6a2-12a+8在a∈[0，2]時的最小值．

解答：解：設(shè)切點A的坐標(biāo)為（a，3a²），（1分）
則y′|_x=a=6a所以切線l的方程為：
y-3a²=6a（x-a），令y=0
得x=

a

2

，令x=2得y=12a-3a²，（3分）
所以S1+S2=23-03-

1

2

(2-

a

2

)(12a-3a2)=-

3

4

a3+6a2-12a+8，
記f(a)=-

3

4

a3+6a2-12a+8，（5分）
則轉(zhuǎn)化為求f(a)=-

3

4

a3+6a2-12a+8在a∈[0，2]時的最小值，
因為f′(a)=-

9

4

a2+12a-12，由-

9

4

a2+12a-12=0（7分）
解得a=

4

3

或a=4，因為f（0）=8，f（2）=2，f(

4

3

) =

8

9

．（9分）
所以當(dāng)a=

4

3

，f（a）取得最小值

8

9

．因此面積S₁+S₂的最小值

8

9

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到面積s₁+s₂的最小值的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．