Question

【題目】已知圓經過點,，圓心在直線上

（1）求圓的標準方程；

（2）若直線與圓C相切且與軸截距相等，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由已知線段AB為圓C的弦，圓心C定在弦AB的垂直平分線上，寫出線段AB垂直平分線方程，與直線聯立，即得圓心C坐標，計算|AC|長，即為圓C半徑，從而可得圓的標準方程；（2）分兩種情況考慮：當與坐標軸的截距為0時，設切線方程為y＝kx；當與坐標軸的截距不為0時，設切線方程為x+y＝b，利用圓心到直線的距離等于半徑，可得切線方程．

（1）由題意可知AB為圓C的弦，其垂直平分線過圓心C，

∵A（0，0）和B（7，7），∴kAB＝1，線段AB垂直平分線的斜率為-1，

又線段AB的中點坐標為（，），

∴線段AB的垂直平分線的方程為：y﹣＝-（x-），即x+y-7＝0，

又圓心在直線4x-3y＝0上，聯立得：，

解得：，即圓心C坐標為（3，4），

∴圓C的半徑|AC|＝5，

則圓C的方程為：（x-3）2+（y﹣4）2＝25；

（2）若直線過原點，設切線方程為y＝kx，即kx﹣y＝0，

圓心C到切線的距離d＝，

整理得：16k2+24k+9＝0，解得：k＝，

所求切線的方程為：y＝；

若截距不為0時，設圓的切線方程為：x+y＝b，

圓心C到切線的距離d＝＝r＝5，解得b＝7±5，

所求切線方程為，

綜上，所有滿足題意的切線方程有3條，分別為.