Question

【題目】已知數列中，，且.

（1）求證：是等比數列，并求數列的通項公式；

（2）數列中是否存在不同的三項按照一定順序重新排列后，構成等差數列？若存在，求滿足條件的項；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）不存在.

【解析】

（1）推導出an+1+1＝﹣3（an+1），n∈N*．a1+1＝2，由此能證明{an+1}是以2為首項，﹣3為公比的等比數列，可求數列{an}通項公式．（2）假設am，an，ap構成等差數列，m≠n≠p，則2an＝am+ap，利用（1）的通項公式進行推導不滿足2an＝am+ap，從而數列{an}中不存在不同的三項按照一定順序重新排列后，構成等差數列．

（1）因為，所以，因為，

所以數列是以2為首項，以-3為公比的等比數列，

所以，即；

（2）假設存在三項按一定順序重新排列后成等差.

①若，則，

整理得，兩邊同除以，

可得，

等式右邊是-3的整數倍，左邊不是-3的整數倍，故等式不成立.

②若，則，

整理得，兩邊同除以，

可得，

等式右邊是-3的整數倍，左邊不是-3的整數倍，故等式不成立.

③若，則，

整理得，兩邊同除以，

可得，

等式左邊是-3的整數倍，右邊不是-3的整數倍，故等式不成立；

綜上，不存在不同的三項符合題意.