Question

已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F分別為AB，OC的中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為（　　）

• A、

  1

  3

• B、-

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、-

  2

  3

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：設

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，且|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，則∠AOB=∠BOC=∠AOC=

π

3

，

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=

1

2

，由此能求出異面直線OE與BF所成角的余弦值．

解答： 解：如圖所示，設

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，
且|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=

π

3

，
∴

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=

1

2

，
∵

OE

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(

a

+

b

)，

BF

=

OF

-

OB

=

1

2

OC

-

OB

=

1

2

c

-

b

，
|

OE

|=|

BF

|=

3

2

，
∴

OE

•

BF

=

1

2

(

a

+

b

)•(

1

2

c

-

b

)
=

1

4

a

•

c

+

1

4

b

•

c

-

1

2

a

•

b

-

1

2

b

2=-

1

2

，
∴cos＜

OE

，

BF

＞=

- 1 2

3 2 • 3 2

=-

2

3

．
∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為

2

3

．
故選：C．

點評：本題考查異面直線所成角的求法，解題時要認真審題，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．