Question

已知是函數的一個極值點。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）若直線與函數的圖象有3個交點，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）單調增區間是,單調減區間是;

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為 ，是函數的一個極值點，所以，

        因此.                                                                ---3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    

     ，

當時，

當時，

所以的單調增區間是，                                   ---6分

的單調減區間是.                                                 ---8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，

且當或時，

所以的極大值為，極小值為.                ---10分

因此

   

所以在的三個單調區間,

因為直線有的圖象各有一個交點，當且僅當

因此，的取值范圍為.                                      ---12分

考點：本小題主要考查函數、導函數等基礎知識，運用導函數研究函數性質（單調性、最值），以及利用函數的單調性考查已知兩函數交點各數時參數的取值范圍，考查學生代數恒等變形能力和綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力.

點評：導數的工具性使得導數在高考中的應用有得天獨厚的優勢，特別是在研究函數的性質方面.近年，各地高考都從不同的方面對導數內容進行考查，既有考查導數的小題，又有考查導數綜合應用的大題.