Question

設各項均為正數的數列的前n項和為S_n，已知，且對一切都成立．
（1）若λ=1，求數列的通項公式；
（2）求λ的值，使數列是等差數列．

Answer 1

(1)；(2)．

解析試題分析：(1)本題已知條件是，我們要從這個式子想辦法得出與的簡單關系式，變形為，這時我們聯想到累乘法求數列通項公式的題型，因此首先由得
，又，這個式子可化簡為，這樣就變成我們熟悉的已知條件，已知解法了；(2)這種類型問題，一種方法是從特殊到一般的方法，可由成等差數列，求出，然后把代入已知等式，得，，這個等式比第(1)題難度大點，把化為，有當n≥2時，，整理，得，特別是可變形為，這樣與第(1)處理方法相同，可得，即，從而說不得是等差數列．
試題解析：（1）若λ=1，則，．
又∵，∴，       2分
∴，
化簡，得．①       4分
∴當時，．②
②-①，得，∴（）．       6分
∵當n=1時，，∴n=1時上式也成立，
∴數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，a_n=2^n-1（）．       8分
（2）令n=1，得．令n=2，得．       10分
要使數列是等差數列，必須有，解得λ=0．       11分
當λ=0時，，且．
當n≥2時，，
整理，得，，       13分
從而，
化簡，得，所以．      15分
綜上所述，（），
所以λ=0時，數列是等差數列．       16分
考點：遞推公式，累乘法，與的關系，等差數列．