Question

已知f（x）=f₁（x）=|cos2πx|，x∈[0，1]，當n≥2時，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，則f₂₀₁₃（x）=

x

2013

實數解的個數為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：推理和證明

分析：當x=1時，f₁（x）=x有四個解；當x=2時，f₂（x）=

x

2

有4²個解；當x=3時，f₃（x）=

x

3

有4³個解…由此歸納出f_n（x）=

x

n

實數解有4ⁿ個，將n=2013代入可得答案．

解答： 解：當x=1時，f₁（x）=|cos2πx|，x∈[0，1]，
此時f₁（x）=x有四個解；
當x=2時，f₂（x）=|cos2π|cos2πx||，x∈[0，1]，
此時f₂（x）=

x

2

有4²個解；
當x=3時，f₃（x）=|cos2π|cos2π|cos2πx|||，x∈[0，1]，
此時f₃（x）=

x

3

有4³個解；
…
由此歸納推理，f_n（x）=

x

n

實數解有4ⁿ個，
f₂₀₁₃（x）=

x

2013

實數解有4²⁰¹³個，
故答案為：4²⁰¹³

點評：本題考查的知識點是歸納推理，根的存在性及個數判斷，其中分析出f_n（x）=

x

n

實數解有4ⁿ個，是解答的關鍵．