Question

設x₁和x₂是方程x²+(t-3)x+(t²-24)＝0的兩個實根,定義函數f(t)=log_m(x₁²+x₂²)(m＞1)，求函數y=f(t)的單調區間，并說明理由.

思路點撥：要想求函數y=f(t)的單調區間，首先要求函數y=f(t)的解析式及定義域.如果在整個定義域內函數不是單調的，那就要把定義域分成幾個函數具有單調性的區間段，從而確定單調區間.

Answer 1

解：根據題意，函數y=f(t)的解析式為y=f(t)=log_m(-t²-6t+57),定義域為t∈［-7,5］.

∵函數u(t)=-t²-6t+57在t∈［-7,5］上并不是單調函數.

又∵函數u(t)=-t²-6t+57的對稱軸方程為t=3,

∴定義域可以分成兩部分，

即t∈［-7,5］=［-7,-3］∪［-3,5］，u(t)在［-7,-3］上是增函數，在［-3,5］上是減函數.

又∵m＞1,∴函數f(u)=log_mu是增函數.

∴函數y=f(t)=log_m(-t²-6t+57),當t∈［-7,-3］時為增函數,當x∈［-3,5］時為減函數.