Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）如果曲線在點處的切線的斜率是，求的值；

（Ⅱ）當，時，求證：；

（Ⅲ）若存在單調遞增區間，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由即可解出；（Ⅱ）對進行二次求導，通過二次求導所得導函數恒正，得到單調遞增；根據零點存在定理可知在上，存在零點；根據導函數符號得到單調性，從而確定最大值為，則結論可證；（III）將問題轉化為存在，使得，通過分離變量將問題轉化為與最值的比較；在時求的最小值；時求的最大值，由于最值點無法取得，結合洛必達法則求得極限值；從而可得的取值范圍.

（Ⅰ）由題意知：

則，即

（Ⅱ）當時， img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/08/15/08/7528bcf4/SYS201908150803096317375479_DA/SYS201908150803096317375479_DA.019.png" width="125" height="23" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />

令

因此恒成立

當時，單調遞增

又，

存在唯一的，使得

列表如下：

			極小值

當時，

當，時，

（Ⅲ）由題意可知，存在，使得

當時，，不合題意；

當時，

令，則

當時，，則單調遞減；時，，則單調遞增

可得時，函數取得極小值即最小值

當時，

當時，，則單調遞減.

又時，

.

綜上可得：