Question

【題目】已知函數， （為自然對數的底數）．

（1）討論函數的單調性；

（2）當時， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求導后，分類討論，利用導數的正負可得函數的單調性；

（2）當時， 恒成立轉化為恒成立，構造函數求出右邊函數的最大值即可.

試題解析：

解：（1）

①若， ， 在上單調遞增；

②若，當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增

（2）當時， ，即

令，則

令，則

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增

又， ，所以，當時， ，即，

所以單調遞減；當時， ，即，

所以單調遞增，所以，所以

利用導數解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法

（1）分離參數法：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題，利用導數求該函數的最值，根據要求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

(2)函數思想法：將不等式轉化為某含待求參數的函數的最值問題，利用導數求該函數的極值(最值)，然后構建不等式求解.