Question

如圖，四面體PABC的六條棱均相等，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，則下列四個結論中不成立的是（　　）

A．平面PDE⊥平面ABC

B．DF⊥平面PAE

C．BC∥平面PDF

D．平面PAE⊥平面ABC

Answer 1

分析：利用反證法，結合面面垂直的性質和線面垂直的定義，得平面PDE⊥平面ABC不能成立，得A項不正確；利用線面垂直的判定與平行線的性質，可得B項正確；根據線面平行的判定定理，可得C項正確；根據面面垂直的判定，結合B項證明過程中的結論，可得D項正確．因此不成立的選項只有A，得到本題答案．

解答：解：對于A，若平面PDE⊥平面ABC，因為等邊△PAB中，PD⊥AB，
平面PDE∩平面ABC=AB，所以PD⊥平面ABC，可得PD⊥DE
同理可得PE⊥平面ABC，可得PE⊥DE．這樣在△PDE中有兩個角等于90°，
與三角形內角和定理矛盾，故平面PDE⊥平面ABC是錯誤的，得A不正確；
對于B，因為正△ABC中，中線AE⊥BC，同理PE⊥BC，結合線面垂直的判定定理，
得BC⊥平面PAE，又因為△ABC的中位線DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B正確；
對于C，因為DF∥BC，DF?平面PDF，BC?平面PDF，故BC∥平面PDF，得C正確；
對于D，根據B項的證明得BC⊥平面PAE，結合BC?平面ABC，可得平面PAE⊥平面ABC，故D正確．
故選：A

點評：本題給出六條棱長都相等的四面體，要我們找出其中不正確的位置關系，著重考查了正四面體的性質和空間線面、面面位置關系的判斷與證明等知識，屬于基礎題．