Question

（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)后令x=1，可得結(jié)論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結(jié)論．試問(wèn)：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=______．

Answer 1

設(shè)t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_n^n…①
C_n^m=C_n^n-m
t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_n^n…②
由①②相加得：
2t=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^r+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ
∴t=（n+2）2^n-1
故答案為：（n+2）2^n-1