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14、（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=

（n+2）2^n-1

．

分析：先設t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nn再由C_n^m=C_n^n-m這個性質，將t轉化為t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_nⁿ②，兩式相加求解．

解答：解：設t=C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_n^n…①
C_n^m=C_n^n-m
t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_n^n…②
由①②相加得：
2t=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^r+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ
∴t=（n+2）2^n-1
故答案為：（n+2）2^n-1

點評：本題主要考查二項式系數及利用組合數的關系應用倒序相加法求代數式的值．

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若C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=256，則(x-

)n+1的展開式中x⁵項的系數是

．

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

請先閱讀：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的兩邊求導，得：（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求導法則，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化簡得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整數n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=

k=2

xk-1．
（2）對于正整數n≥3，求證：
（i）

k=1

(-1)kk

=0；
（ii）

k=1

(-1)kk2

=0；
（iii）

k=1

k+1

2n+1-1

n+1

．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=________．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=______．

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（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：Cn1+2Cn2+…+rCnr+nCnn=n•2n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（r+1）Cnr+…+（n+1）Cnn=________．

（1+x）n=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式兩邊對x求導后令x=1，可得結論：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解題思路，可得到許多結論．試問：C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=________．