Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率為，右準線方程為，、分別是橢圓的左、右頂點，過右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）記、的面積分別為、，若，求的值；

（3）設線段的中點為，直線與右準線相交于點，記直線、、的斜率分別為、、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，根據題意列出關于、的方程組，進而可求出的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（2）設點，，根據題中三角形面積的比值，可得出，再由點、在橢圓上，可求出點的坐標，即可求出直線的斜率；

（3）依題意可知，點、在橢圓上，根據點差法、三點共線、直線方程、斜率公式，化簡整理即可得出的值.

（1）設橢圓的焦距為，

依題意，，且，解得，，故.

所以橢圓的標準方程為；

（2）設點，.

據題意，，即，整理可得，所以.

代入坐標，可得，即.

又點、在橢圓上，所以，解得.

所以直線的斜率；

（3）依題意，點、在橢圓上，

所以，兩式相減，得

即，所以，即，

所以直線的方程為，令，得，即.

所以.

又直線的方程為，與橢圓聯立方程組，

整理得，

所以，得，.

所以點的坐標為.

同理，點的坐標為.

又點、、三點共線，

所以，整理得，

依題意，，，故.

由可得，，即.

所以.